Introdução Funções

 
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# Introdução Funções
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Informalmente, vamos começar entendendo uma função como "uma coisa que transforma (associa) uma coisa noutra coisa, sem deixar dúvidas."

Exemplos:

Função suco (de fruta) que transforma uma fruta num suco da mesma fruta.
Função "fala inglês?" que "transforma" uma pessoa na resposta SIM ou NÃO
Função cotação que tranforma um valor em dólar para um valor em real.
Função que recebe um tipo de grão e responde com quantas ml se faz um café
Função que recebe uma imagem e responde se há um gato ou não
Função que recebe uma imagem de um animal e responde o nome do animal

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Informalmente, vamos começar entendendo uma função como "uma coisa que *transforma* (associa) uma coisa noutra coisa, sem deixar dúvidas."
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Exemplos:
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1. Função **suco** (de fruta) que transforma uma fruta num suco da mesma fruta.
2. Função **"fala inglês?"** que "transforma" uma pessoa na resposta *SIM* ou *NÃO*
3. Função **cotação** que tranforma um valor em dólar para um valor em real.
4. Função que recebe um tipo de grão e responde com quantas *ml* se faz um café
5. Função que recebe uma imagem e responde se há um gato ou não
6. Função que recebe uma imagem de um animal e responde o nome do animal
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Mais formalmente, uma função é uma relação em que para todo elemento $x$ do primeiro conjunto (domínio) existe um único elemento $y$ do segundo conjunto (imagem).

Exemplo:

a) Função suco (de fruta) que transforma uma fruta num suco da mesma fruta.

A = {x | x é uma fruta da qual é possível fazer suco} B = {y | y é um suco de fruta}

Esta relação é uma função, pois para cada fruta, há um único suco (o suco da própria fruta).

b)A relação seguidor definida na aula anterior dentro do Instagram.

Esta relação não é uma função, porque cada pessoa pode seguir muitas outras pessoas. Então não existe um único $y$ (perfil do instagram) para cada $x$ (perfil do instagram).

c)Função "fala inglês?" que "transforma" uma pessoa na resposta SIM ou NÃO.

A = { x | x é uma pessoa nascida no Brasil }

B = {"Sim", "Não"}

De fato, é uma função, pois para todo pessoa nascida no Brasil, em um dado momento (o momento da pergunta), existe uma única resposta: ou a pessoa responde que fala inglês ("Sim") ou não ("Não").

d) Função que liga ou desliga uma lâmpada (move o interruptor).

Primeiro, precisamos modelar o problema, entender quem são os conjuntos e que relação estamos definindo.

Seja $T$ o conjunto de estados possíveis para uma lâmpada, podemos usar "lig" para representar o estado "ligada" e "Des", para o estado "Desligada". Temos que:

$T = {L i g, D e s}$

Tomando o produto cartesiano de T consigo mesmo, temos: $T \times T = {(L i g, L i g), (L i g, D e s), (D e s, L i g), (D e s, D e s)}$

A função, portanto, fica definida como a relação que associa um estado ao estado oposto.

$f = {(" l i g a d a ", " d e s l i g a d a "), (" d e s l i g a d a ", " l i g a d a ")}$

e) A relação preço

Seja S um supermercado à sua escolha. Seja $A = {x | x$ é um produto dentro do supermercado S hoje $}$ e $Q$ o conjunto dos números racionais.

Seja R uma relação entre $A$ e $Q$ , de modo que R representa o preço do produto no dia.

R é uma função?

Neste caso, sim, pois dentro de um mesmo supermercado:

Todo produto tem um preço.
Não pode existir dois preços diferentes pro mesmo produto.

Contudo, observe que se perguntássemos "qual o preço de um produto" sem o contexto do local, não teríamos uma função, pois o mesmo produto pode ter preços diferentes em locais diferentes.

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Mais formalmente, uma **função** é uma **relação** em que **para todo** elemento $x$ do primeiro conjunto (domínio) existe **um único** elemento $y$ do segundo conjunto (imagem).

Exemplo:

a) Função suco (de fruta) que transforma uma fruta num suco da mesma fruta.

A = {x | x é uma fruta da qual é possível fazer suco}
B = {y | y é um suco de fruta}

Esta relação é uma função, pois para cada fruta, há um único suco (o suco da própria fruta).

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b)A relação seguidor definida na [aula anterior](https://matematica.pgdinamica.com/notebooks/mec012_relacoes.html) dentro do Instagram.

Esta relação não é uma função, porque cada pessoa pode seguir muitas outras pessoas. Então **não existe um único** $y$ (perfil do instagram) para cada $x$ (perfil do instagram).

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c)Função *"fala inglês?"* que "transforma" uma pessoa na resposta SIM ou NÃO.

A = { x | x é uma pessoa nascida no Brasil }

B = {"Sim", "Não"}

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d) Função que liga ou desliga uma lâmpada (move o interruptor).

Primeiro, precisamos modelar o problema, entender quem são os conjuntos e que relação estamos definindo.

Seja $T$ o conjunto de estados possíveis para uma lâmpada, podemos usar "lig" para representar o estado "ligada" e "Des", para o estado "Desligada". Temos que:

$$T = \{Lig, Des\}$$

Tomando o produto cartesiano de T consigo mesmo, temos:
$$T × T = \{(Lig, Lig), (Lig, Des), (Des, Lig), (Des, Des) \}$$

A função, portanto, fica definida como a relação que associa um estado ao estado oposto.

$$f = \{("ligada", "desligada"), ("desligada", "ligada")\}$$

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e) A relação preço

Seja **S** um supermercado à sua escolha. Seja $A = \{ x | x $ é um produto dentro do supermercado S hoje $\}$ e $\mathbb{Q}$ o conjunto dos números racionais.

Seja R uma relação entre $A$ e $\mathbb{Q}$, de modo que R representa o preço do produto no dia.

**R é uma função?**

Neste caso, sim, pois dentro de um mesmo supermercado:
1. Todo produto tem um preço.
2. Não pode existir dois preços diferentes pro mesmo produto.

Contudo, observe que se perguntássemos "qual o preço de um produto" sem o contexto do local, não teríamos uma função, pois o mesmo produto pode ter preços diferentes em locais diferentes.

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Mais formalmente, uma **função** é uma **relação** em que **para todo** elemento $x$ do primeiro conjunto (domínio) existe **um único** elemento $y$ do segundo conjunto (imagem).
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Exemplo:
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a) Função suco (de fruta) que transforma uma fruta num suco da mesma fruta.
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A = {x | x é uma fruta da qual é possível fazer suco}
B = {y | y é um suco de fruta}
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Esta relação é uma função, pois para cada fruta, há um único suco (o suco da própria fruta).
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b)A relação seguidor definida na [aula anterior](https://matematica.pgdinamica.com/notebooks/mec012_relacoes.html) dentro do Instagram.
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Esta relação não é uma função, porque cada pessoa pode seguir muitas outras pessoas. Então **não existe um único** $y$ (perfil do instagram) para cada $x$ (perfil do instagram).
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c)Função *"fala inglês?"* que "transforma" uma pessoa na resposta SIM ou NÃO.
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A = { x | x é uma pessoa nascida no Brasil }
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B = {"Sim", "Não"}
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De fato, é uma função, pois para todo pessoa nascida no Brasil, em um dado momento (o momento da pergunta), existe uma única resposta: ou a pessoa responde que fala inglês ("Sim") ou não ("Não").
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d) Função que liga ou desliga uma lâmpada (move o interruptor).
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Primeiro, precisamos modelar o problema, entender quem são os conjuntos e que relação estamos definindo.
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Seja $T$ o conjunto de estados possíveis para uma lâmpada, podemos usar "lig" para representar o estado "ligada" e "Des", para o estado "Desligada". Temos que:
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$$T = \{Lig, Des\}$$
​
Tomando o produto cartesiano de T consigo mesmo, temos:
$$T × T = \{(Lig, Lig), (Lig, Des), (Des, Lig), (Des, Des) \}$$
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A função, portanto, fica definida como a relação que associa um estado ao estado oposto.
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$$f = \{("ligada", "desligada"), ("desligada", "ligada")\}$$
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e) A relação preço
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Seja **S** um supermercado à sua escolha. Seja $A = \{ x | x $ é um produto dentro do supermercado S hoje $\}$ e $\mathbb{Q}$ o conjunto dos números racionais.
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Seja R uma relação entre $A$ e $\mathbb{Q}$, de modo que R representa o preço do produto no dia.
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**R é uma função?**
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Neste caso, sim, pois dentro de um mesmo supermercado:
1. Todo produto tem um preço.
2. Não pode existir dois preços diferentes pro mesmo produto.
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Contudo, observe que se perguntássemos "qual o preço de um produto" sem o contexto do local, não teríamos uma função, pois o mesmo produto pode ter preços diferentes em locais diferentes.
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Pergunta a relação ilustrada abaixo representa uma função?

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    using Images
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    ### Pergunta a relação ilustrada abaixo representa uma função?
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end

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