Conjuntos

Conjunto, elemento e pertinência

1. Letras do alfabeto

2. Jogadores de um time de futebol

3. Estados que compõem o Brasil

4. Símbolos de um sistema numérico

5. Contos escritos por Machado de Assis

Cada parte individual dentro do agrupamento (conjunto) é um elemento do conjunto.

Dizemos que um elemento pertence ao conjunto se ele faz parte deste agrupamento. Caso contrário, dizemos que o elemento não pertence ao conjunto.

• Relação de pertinência é representada pelo símbolo ∈

Descrição de conjuntos

Nos exemplos acima descrevemos conjuntos a partir de propriedades que seus elementos têm que respeitar.

Podemos também enumerar os elementos de um conjuntos:

1. Ex: letras do alfabeto = $\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}$

2. Números pares entre 0 e 200 inclusive: $\{0,2,4,6,...,198,200\}$

Por descrição

1. Animes = $\{x|x$ é um anime $\}$

2. {c | c é um município brasileiro }

3. {x | x é o resultado de um jogo do campeonato brasileiro de 2019}

A = {x | x é um anime }

Naruto ∈ A?

=> Sim. É verdade que Naruto ∈ A.

Karatê Kid ∈ A ?

=> Não. Karatê Kid ∉ A

Subconjuntos

B = { x | x é um anime shounen }

• Naruto ∈ B.

• Naruto ∈ A

• B ⊂ A.

• A ⊃ B

• {Naruto} ⊂ B ⊂ A

• {Naruto} ⊂ A

M = { x | x é um vídeo sobre machine learning no Youtube}

N = { y | y é um vídeo gravado pela Kizzy e publicado no Youtube}

N ⊂ M ?

=> Não! N ⊄ M

Listando todos os subconjuntos de um conjunto

W = {7, 9, 10}

Subconjuntos de W são:

• {}, {7}, {9}, {10}, {7, 9}, {7, 10}, {9, 10}, {7, 9, 10}

Pra conferir se está entendendo

A = {{1, 2, 3}, 1, 2, 3}

B = {1, 2, 3}

A = {B, 1, 2, 3}

{1, 2, 3} ∈ A

{1, 2, 3} ⊂ A

Operações

União de conjuntos

O resultado da união entre dois conjuntos é um novo conjunto com todos os elementos que pertencem ao primeiro conjunto e todos os elementos que pertencem ao segundo conjunto.

A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 4, 6, 8}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Note que A ⊂ A ∪ B; e também B ⊂ A ∪ B.

Interseção de conjuntos

O resultado da interseção entre dois conjuntos é um novo conjunto com todos os elementos que pertencem simultaneamente ao primeiro e ao segundo conjunto.

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 4, 6, 8}

A ∩ B = {2, 4}

Note que (A ∩ B) ⊂ A; assim como (A ∩ B) ⊂ B.

A interseção pode ser vazia.

A = { x | x é ímpar } B = { x | x é par }

A ∩ B = {}

{} ⊂ A, {} ⊂ B

Diferença de conjuntos A - B (ou A\B)

A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B}

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 4, 6, 8}

A - B = {1, 3}

Conjuntos Numéricos

O conjunto $\mathbb{N}$ é chamado de conjunto dos números naturais.

$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...\}$$

O conjunto $\mathbb{Z}$ é chamado de conjunto dos números inteiros.

$$\mathbb{Z}=\{...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...\}$$

Repare que $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$

O conjunto $\mathbb{Q}$ é chamado de conjunto dos números racionais. Todo elemento de $\mathbb{Q}$ pode ser expresso como uma razão entre dois números inteiros.

$$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}|m,n\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\}\cup \{0\}$$

Repare que $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$

O conjunto $\mathbb{I}$ é chamado de conjunto dos números irracionais Os elementos de $\mathbb{I}$ não podem ser expressos como uma razão entre dois inteiros

$$\pi ,\surd 2,ℯ\subset \mathbb{I}$$

O conjunto $\mathbb{R}$ é chamado de conjunto dos números reais. É dado pela união dos racionais e irracionais.

Para a maior parte das aplicações a partir de agora, $\mathbb{R}$ será nosso conjunto universo.