Potenciação e Radiciação

Até o momento, já vimos que existe uma relação entre a operação de soma (ou adição) e a operação de subtração. Considerando os números negativos, uma subtração pode ser interpretada como uma adição entre um número e o oposto aditivo do outro número.:

$6 - 5 = 6 + (- 5)$

Também vimos que há uma relação entre a multiplicação e a divisão, pois podemos considerar uma divisão como o produto de um número e o inverso multiplicativo do outro.

$8 \div 2 = 8 * \frac{1}{2}$

Também é intuitivo perceber que uma multiplicação pode ser vista como uma sequência de somas:

$5 \times 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7$

(somar 7 cinco vezes)

Agora, vamos introduzir duas outras operações e ver como elas se relacionam com o que já conhecemos.

21.7 μs

Potenciação

Podemos começar a entender a potenciação como a operação que multiplica um número por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. Essa quatidade determinada de vezes, a gente chama de potência ou expoente.

Notação:

Se eu quero dizer que o número 2 está multiplicado por ele mesmo 3 vezes, usamos $2^{3}$ para representar esta operação. Leitura: 2 elevado a 3; 2 elevado ao expoente 3; ou 2 elevado à terceira potência.

Em $a^{b}$ (a elevado a b), chamamos:

a de base
b de expoente

32.2 μs

Pergunta: Quanto vale $2^{0}$ ?

Por definição, diremos que qualquer número diferente de zero elevado ao expoente 0 resulta em 1. Assim:

$2^{0} = 1$

É importante notar que 0 (zero) elevado a qualquer expoente positivo resulta em zero. Veremos operações com expoentes negativos no futuro.

14.8 μs

233 ns

585 ns

Radiciação

Podemos começar $^{1}$ a entender a radiciação como é a operação que busca um número que quando multiplicado por ele mesmo uma quantidade de vezes igual ao índice da raiz resulta no número dentro da raiz.

Notação

Em $\sqrt[p]{a}$ , temos que:

a é o radicando
p é o índice da raiz
O símbolo $\sqrt{-}$ é chamado de radical

Quando o radicando não é especificado, entendemos implicitamente que é o número 2.

Exemplos

a) $\sqrt{9} = 3$ , pois $3 \times 3 = 9$

b) $\sqrt[3]{125} = 5$ , pois $5 \times 5 \times 5 = 125$

c) $\sqrt[5]{32} = 2$ , pois $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Repare que existe uma relação entre a potenciação e a radiciação:

A) $\sqrt{9} = 3 ⟺ 3 \times 3 = 9 ⟺ 3^{2} = 9$

B) $\sqrt[3]{125} = 5 ⟺ 5 \times 5 \times 5 = 125 ⟺ 5^{3} = 125$

C) $\sqrt[5]{32} = 2 ⟺ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 ⟺ 2^{5} = 32$

md"""
## Radiciação

Podemos começar$^1$ a entender a radiciação como é a operação que busca um número que quando multiplicado por ele mesmo uma quantidade de vezes igual ao índice da raiz resulta no número dentro da raiz.

###### Notação

Em $\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}p]{a}$, temos que:
* **a** é o radicando
* **p** é o índice da raiz
* O símbolo $\sqrt{-}$ é chamado de radical

Quando o radicando não é especificado, entendemos implicitamente que é o número 2.

###### Exemplos

a) $\sqrt{9} = 3$, pois $3 \times 3 = 9$

b) $\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}3]{125} = 5$, pois $5 \times 5 \times 5 = 125$

c) $\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}5]{32} = 2$, pois $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Repare que existe uma relação entre a potenciação e a radiciação:

A) $\sqrt{9} = 3  \Longleftrightarrow 3 \times 3 = 9 \Longleftrightarrow 3^2 = 9$

B) $\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}3]{125} = 5 \Longleftrightarrow 5 \times 5 \times 5 = 125 \Longleftrightarrow 5^3 = 125$

C) $\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}5]{32} = 2 \Longleftrightarrow 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \Longleftrightarrow 2^5 = 32$

"""

204 μs

2.8 s

Números cujo valor absoluto seja maior que 1 podem crescer muito rápido quando elevados a expoentes positivos.

10.5 μs

79.4 ms

Números com valor absoluto entre 0 e 1 podem decrescer muit rápido quando elevados a expoentes positivos.

7.6 μs

98.7 ms

$^{1}$ Usamos a expressão "começar a entender", porque essas ideias podem ser extendidas matematicamente de modo não tão intuitivo de contar. Por exemplo, podemos ter um número como 3,1415 elevado a um expoente como -2,71. Quando abordarmos outros assuntos da matemática essas noções farão mais sentido.

7.6 μs

Para refletir

Seja Acinetobacter uma bactéria que se reproduz de modo que a cada minuto ela dobra a sua população. Coloca-se uma quantidade desta bactéria em um pote às 11:00h da manhã. Às 11:59h, o pote está repleto pela metade de sua capacidade desta bactéria. A que horas o pote estará completamente cheio?

18.7 μs

$1 = 2^{0}$

$2 = 2^{1}$

$4 = 2^{2}$

$8 = 2^{3}$

$16 = 2^{4}$

(...)

$256 = 2^{8}$

8.0 μs

Resposta: ao meio dia (no minuto seguinte). A resposta independe do tamanho do pote.

12.4 μs

25.0 s