Porcentagem

Podemos entender um valor em porcentagem, representado ao lado do símbolo %, como uma fração cujo denominador é 100 e o numerador é igual ao número ao lado do símbolo % (o valor da porcentagem)

Exemplos:

a) 10% corresponde à fração $\frac{10}{100}$

b) 7,5% corresponderia à fração $\frac{7,5}{100}$

Contudo, vimos que uma fração é uma razão entre dois números inteiros e 7,5 não é inteiro. Então se quisermos olhar 7,5% como uma fração podemos multiplicar e dividir o denominador por um mesmo valor até termos uma razão entre inteiros. Por exemplo, aplicar uma aliquota de 7,5% de imposto sobre um salário de 1100 reais, corresponde a R$82,50.

De maneira equivalente, poderíamos ter multiplicado 1100 pela fração $\frac{3}{40}$.

Um desconto de 10% em cima de um produto que custa 100 reais corresponderia a um valor final de 90 reais

Um imposto de 10% em cima de um produto que custa 100 reais corresponderia a um valor final de 110 reais

Incrementar em 10% e depois decrementar em 10% não resulta no valor inicial, porque estamos tomando uma porcentagem em relação a valores diferentes

Comunicando com porcentagem

Quem me segue pelo Instagram (@hallpaz), pode ter visto um story com a mensagem abaixo, compartilhado enquanto eu jogava Mortal Kombat 11.

Como o jogo calculou o percentual de desempenho mostrado?

Suponha uma situação em que temos 10 jogadores em um jogo. Ao final de cada partida, cada jogador recebe uma pontuação e, num dado momento temos o seguinte resultado acumulado:

jogador	pontos
J1	1000
J2	900
J3	800
J4	700
J5	600
J6	500
J7	400
J8	300
J9	200
J10	100

Depois de algumas partidas, eu alcanço a soma de 250 pontos.

jogador	pontos
(...)	(...)
J8	300
Hallison	250
J9	200
J10	100

Para comunicar este resultado, podemos olhar o ranking de cima para baixo, a partir dos melhores, ou de baixo para cima, a partir dos piores jogadores.

Temos que o meu desempenho no jogo foi melhor que 2 jogadores dentre os 10 que jogaram${}^1$ e pior que o desempenho dos demais 8 jogadores.

Olhando de baixo para cima, pode-se dizer que eu estou junto aos 20% piores jogadores:

$$\frac{2}{10}=\frac{20}{100}=20\mathrm{\%}$$

Olhando de cima para baixo, pode-se dizer que eu estou junto aos 80% melhores jogadores:

$$\frac{8}{10}=\frac{80}{100}=80\mathrm{\%}$$

${}^1$ poderíamos considerar 11 jogadores, incluíndo o jogador que recebe o resultado, mas preferimos manter a conta mais simples. Em uma situação com muitos jogadores, como o exemplo abaixo, o impacto de somar ou subtrair 1 jogador é muito pequeno quando analisado em porcentagem.

Usando um exemplo com números maiores:

Suponha que temos 854.732 jogadores de Mortal Kombat 11. Neste cenário, Hallison soma 25.000 pontos. No entanto, 689.432 jogadores realizam mais de 25.000 pontos. Como comunicar o desempenho de Hallison em relação ao total de jogadores de MK11?

Olhando de cima para baixo (entre os melhores), temos que:

$$\frac{689432}{854732}=80.66\mathrm{\%}$$

Estaria entre os 80.66% melhores!

Olhando de baixo para cima (entre os piores) temos:

$$\frac{854732-689432}{854732}=0.1934=19.34\mathrm{\%}$$

ou, ainda, poderíamos ter calculado:

$$100\mathrm{\%}-80.66\mathrm{\%}=19.34\mathrm{\%}$$

O que é o numericamente equivalente a estar entre os 19.34% piores. Contudo, comunicar que você está entre os melhores, ainda que não seja no topo, pode ter um impacto mais motivacional xD